招差术即高次内插法,是现代计算数学中一种常用的插值方法。在中国古代天文学中早已应用了一次内插法,隋唐时期又创立了等间距和不等间距二次内插法,用以计算日月五星的视行度数。但是太阳等天体的视运动并不是时间的二次函数,因此仅用二次内插公式推算的结果仍不够精确。唐代天文学家一行已经注意到这个问题,并列出一个包括三差的表格。由于当时数学水平所限,一行还没有能够给出正确的三次差内插公式。元代天文学家和数学家王恂、郭守敬在所编制的《授时历》中,为精确推算日月五星运行的速度和位置,根据“平、定、立”三差,创用三次差内插公式,这在数学上是重要的创新,同时也把天文历法的计算工作推进了一大步。朱世杰对于这类插值问题作了更深入的研究。他在《四元玉鉴》中成功地把高阶等差级数方面的研究成果运用于内插法,得到了一般的插值公式:
并且明确指出公式中各项系数恰好是p=1,2,3,…时的三角垛求和公式。上述插值公式,在中国数学史上一般称为“招差术”,其用 ......
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